Module et arguments de l'exponentielle complexe

Pr oposition

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) , on a \(\left\vert \text e^{i\theta} \right\vert=1\)   et \(\arg(\text e^{i\theta}) \equiv \theta \ [2\pi]\) .

Démonstration

Soit  \(\theta \in \mathbb{R}\) . Par définition, \(\text e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)=1\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)\) est une forme trigonométrique de \(\text e^{i\theta}\) . On en déduit que \(\left\vert \text e^{i\theta} \right\vert=1\) et \(\arg(\text e^{i\theta}) \equiv \theta \ [2\pi]\) .

Corollaire

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) , pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) , \(\text e^{i(\theta+2k\pi)}=\text e^{i\theta}\) .

Démonstration

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\)  et soit \(k \in \mathbb{Z}\) . Les points du cercle trigonométrique associés à \(\theta\) et \(\theta+2k\pi\) sont confondus, donc \(\cos(\theta+2k\pi)=\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)\) . On en déduit que :
\(\text e^{i(\theta+2k\pi)}=\cos(\theta+2k\pi)+i\sin(\theta+2k\pi)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)=\text e^{i\theta}\) .

Exemples

On a les égalités suivantes :

• \(\text e^{0i}=\text e^{2i\pi}=\text e^{4i\pi}=\text e^{-2i\pi}=1\)
  
• \(\text e^{i\pi}=\text e^{-i\pi}=\text e^{999i\pi}=-1\)